====== Trigonométrie ======

===== Que =====

La trigonométrie permet de calculer des longueurs ou des angles à partir des relations entre les côtés et les angles d'un triangle.

Elle transforme ainsi une mesure indirecte en mesure calculable.

On peut par exemple utiliser les mathématiques pour estimer :

* la hauteur d'un arbre ;
* la hauteur d'un phare ;
* la distance jusqu'à un objet ;
* la pente d'un terrain ;
* la hauteur d'un bâtiment ;
* un angle ou une distance impossible à mesurer directement.

===== Pourquoi =====

La trigonométrie est un bon exemple de Technique : une connaissance abstraite permet de résoudre un problème réel.

On ne peut pas facilement mesurer directement la hauteur d'un phare.

Mais on peut mesurer :

* une distance au sol ;
* un angle ;
* une ombre ;
* ou une hauteur facilement accessible.

Puis utiliser les mathématiques pour calculer la mesure recherchée.

Mesurer ce qui est accessible pour déduire ce qui ne l'est pas.

===== Exemple : mesurer un arbre avec son ombre =====

Il fait beau et un arbre projette une ombre.

On connaît sa propre taille : 1,80 m.

On mesure :

* la longueur de notre ombre : 2 m ;
* la longueur de l'ombre de l'arbre : 10 m.

Le Soleil étant suffisamment éloigné, les rayons lumineux peuvent être considérés comme parallèles.

L'homme et l'arbre forment alors deux triangles semblables.

On peut écrire :

\
\frac{\text{hauteur de l'arbre}}{\text{ombre de l'arbre}}

\frac{\text{hauteur de l'homme}}{\text{ombre de l'homme}}
\

Donc :

\
\frac{H}{10}=\frac{1,80}{2}
\

D'où :

\
H=10\times\frac{1,80}{2}
\

\
H=9\text{ m}
\

L'arbre mesure environ 9 mètres.

On vient donc de mesurer un objet de 9 mètres sans avoir besoin de monter dessus.

===== Exemple : mesurer un phare =====

La même méthode peut être utilisée pour un phare.

On mesure :

* notre taille : 1,80 m ;
* notre ombre : 3 m ;
* l'ombre du phare : 30 m.

On obtient :

\
\frac{H}{30}=\frac{1,80}{3}
\

Donc :

\
H=30\times\frac{1,80}{3}
\

\
H=18\text{ m}
\

Le phare mesure environ 18 mètres.

La méthode fonctionne aussi pour :

* un bâtiment ;
* un poteau ;
* un arbre ;
* une statue ;
* une falaise, lorsque les conditions s'y prêtent.

===== CAH SOH TOA =====

Pour un triangle rectangle, trois rapports fondamentaux permettent de relier un angle aux longueurs des côtés.

On peut les mémoriser avec :

CAH — SOH — TOA

==== CAH ====

Cosinus = Adjacent / Hypoténuse

\
\cos(\theta)=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}
\

==== SOH ====

Sinus = Opposé / Hypoténuse

\
\sin(\theta)=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}
\

==== TOA ====

Tangente = Opposé / Adjacent

\
\tan(\theta)=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}
\

===== Exemple : mesurer la hauteur d'un arbre avec un angle =====

On se place à une distance connue de l'arbre.

On mesure :

* la distance entre nous et le pied de l'arbre : 20 m ;
* l'angle entre l'horizontale et la direction du sommet : 30°.

On connaît le côté adjacent et on cherche le côté opposé.

On utilise donc la tangente :

\
\tan(30^\circ)=\frac{H}{20}
\

Donc :

\
H=20\times\tan(30^\circ)
\

Soit environ :

\
H\approx11,55\text{ m}
\

Si l'observation est faite depuis une hauteur de 1,80 m, il faut ajouter cette hauteur :

\
H_{\text{arbre}}\approx11,55+1,80
\

L'arbre mesure donc environ 13,35 m.

===== Deux méthodes, une même idée =====

L'arbre peut donc être mesuré de deux façons.

Avec les ombres :

«hauteur connue + ombres → proportion → hauteur inconnue»

Avec un angle :

«distance connue + angle → trigonométrie → hauteur inconnue»

Dans les deux cas, on ne mesure pas directement l'objet.

On construit un modèle mathématique permettant de déduire l'inaccessible à partir de l'accesssible.

===== Le piège à éviter =====

CAH SOH TOA n'est pas toute la trigonométrie.

Ces trois rapports sont principalement utilisés avec les triangles rectangles.

La trigonométrie comprend également :

* le cercle trigonométrique ;
* les radians ;
* les fonctions trigonométriques ;
* les identités trigonométriques ;
* la trigonométrie dans les triangles quelconques.

CAH SOH TOA est donc un outil pratique parmi d'autres.

===== Juste milieu =====

Il n'est pas nécessaire de mémoriser toutes les formules.

L'objectif est surtout de savoir :

* reconnaître quand la trigonométrie est utile ;
* identifier le triangle ;
* repérer les côtés ;
* choisir le bon outil ;
* effectuer le calcul ;
* vérifier si le résultat est cohérent.

Comprendre d'abord. Mémoriser ce qui est utile. Savoir retrouver le reste.

===== Technique =====

La trigonométrie illustre parfaitement l'esprit de la Technique :

Observer → mesurer → modéliser → calculer → vérifier.

Une connaissance mathématique devient alors un outil permettant de mesurer le monde réel.