Trigonométrie
Que
La trigonométrie permet de calculer des longueurs ou des angles à partir des relations entre les côtés et les angles d'un triangle.
Elle transforme ainsi une mesure indirecte en mesure calculable.
On peut par exemple utiliser les mathématiques pour estimer :
* la hauteur d'un arbre ; * la hauteur d'un phare ; * la distance jusqu'à un objet ; * la pente d'un terrain ; * la hauteur d'un bâtiment ; * un angle ou une distance impossible à mesurer directement.
Pourquoi
La trigonométrie est un bon exemple de Technique : une connaissance abstraite permet de résoudre un problème réel.
On ne peut pas facilement mesurer directement la hauteur d'un phare.
Mais on peut mesurer :
* une distance au sol ; * un angle ; * une ombre ; * ou une hauteur facilement accessible.
Puis utiliser les mathématiques pour calculer la mesure recherchée.
Mesurer ce qui est accessible pour déduire ce qui ne l'est pas.
Exemple : mesurer un arbre avec son ombre
Il fait beau et un arbre projette une ombre.
On connaît sa propre taille : 1,80 m.
On mesure :
* la longueur de notre ombre : 2 m ; * la longueur de l'ombre de l'arbre : 10 m.
Le Soleil étant suffisamment éloigné, les rayons lumineux peuvent être considérés comme parallèles.
L'homme et l'arbre forment alors deux triangles semblables.
On peut écrire :
\ \frac{\text{hauteur de l'arbre}}{\text{ombre de l'arbre}}
\frac{\text{hauteur de l'homme}}{\text{ombre de l'homme}} \
Donc :
\ \frac{H}{10}=\frac{1,80}{2} \
D'où :
\ H=10\times\frac{1,80}{2} \
\ H=9\text{ m} \
L'arbre mesure environ 9 mètres.
On vient donc de mesurer un objet de 9 mètres sans avoir besoin de monter dessus.
Exemple : mesurer un phare
La même méthode peut être utilisée pour un phare.
On mesure :
* notre taille : 1,80 m ; * notre ombre : 3 m ; * l'ombre du phare : 30 m.
On obtient :
\ \frac{H}{30}=\frac{1,80}{3} \
Donc :
\ H=30\times\frac{1,80}{3} \
\ H=18\text{ m} \
Le phare mesure environ 18 mètres.
La méthode fonctionne aussi pour :
* un bâtiment ; * un poteau ; * un arbre ; * une statue ; * une falaise, lorsque les conditions s'y prêtent.
CAH SOH TOA
Pour un triangle rectangle, trois rapports fondamentaux permettent de relier un angle aux longueurs des côtés.
On peut les mémoriser avec :
CAH — SOH — TOA
CAH
Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
\ \cos(\theta)=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \
SOH
Sinus = Opposé / Hypoténuse
\ \sin(\theta)=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \
TOA
Tangente = Opposé / Adjacent
\ \tan(\theta)=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \
Exemple : mesurer la hauteur d'un arbre avec un angle
On se place à une distance connue de l'arbre.
On mesure :
* la distance entre nous et le pied de l'arbre : 20 m ; * l'angle entre l'horizontale et la direction du sommet : 30°.
On connaît le côté adjacent et on cherche le côté opposé.
On utilise donc la tangente :
\ \tan(30^\circ)=\frac{H}{20} \
Donc :
\ H=20\times\tan(30^\circ) \
Soit environ :
\ H\approx11,55\text{ m} \
Si l'observation est faite depuis une hauteur de 1,80 m, il faut ajouter cette hauteur :
\ H_{\text{arbre}}\approx11,55+1,80 \
L'arbre mesure donc environ 13,35 m.
Deux méthodes, une même idée
L'arbre peut donc être mesuré de deux façons.
Avec les ombres :
«hauteur connue + ombres → proportion → hauteur inconnue»
Avec un angle :
«distance connue + angle → trigonométrie → hauteur inconnue»
Dans les deux cas, on ne mesure pas directement l'objet.
On construit un modèle mathématique permettant de déduire l'inaccessible à partir de l'accesssible.
Le piège à éviter
CAH SOH TOA n'est pas toute la trigonométrie.
Ces trois rapports sont principalement utilisés avec les triangles rectangles.
La trigonométrie comprend également :
* le cercle trigonométrique ; * les radians ; * les fonctions trigonométriques ; * les identités trigonométriques ; * la trigonométrie dans les triangles quelconques.
CAH SOH TOA est donc un outil pratique parmi d'autres.
Juste milieu
Il n'est pas nécessaire de mémoriser toutes les formules.
L'objectif est surtout de savoir :
* reconnaître quand la trigonométrie est utile ; * identifier le triangle ; * repérer les côtés ; * choisir le bon outil ; * effectuer le calcul ; * vérifier si le résultat est cohérent.
Comprendre d'abord. Mémoriser ce qui est utile. Savoir retrouver le reste.
Technique
La trigonométrie illustre parfaitement l'esprit de la Technique :
Observer → mesurer → modéliser → calculer → vérifier.
Une connaissance mathématique devient alors un outil permettant de mesurer le monde réel.
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